Mathematics-I (3110014)

$\mathrm{Here}, \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 1& -3& 3\end{array}\right]$

$\mathrm{A}-\mathrm{\lambda } \mathrm{I}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 1& -3& 3\end{array}\right]-\mathrm{\lambda } \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$

$\mathrm{A}-\mathrm{\lambda } \mathrm{I}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 1& -3& 3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{\lambda }& 0& 0\\ 0& \mathrm{\lambda }& 0\\ 1& 0& \mathrm{\lambda }\end{array}\right]$

$\mathrm{A}-\mathrm{\lambda } \mathrm{I}=\left[\begin{array}{ccc}-\mathrm{\lambda }& 1& 1\\ 0& -\mathrm{\lambda } & 1\\ 1& -3 & 3-\mathrm{\lambda }\end{array}\right] \dots \dots \dots \dots \left(1\right)$

$\mathrm{Now},\mathrm{Characteristic} \mathrm{equation} \mathrm{is},$

$|\mathrm{A}-\mathrm{\lambda I}|=0$

$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}-\mathrm{\lambda }& 1& 1\\ 0& -\mathrm{\lambda } & 1\\ 1& -3 & 3-\mathrm{\lambda }\end{array}\right|=0$

$⟹(-\mathrm{\lambda })\left[\right(-\mathrm{\lambda }\left)\right(3-\mathrm{\lambda })-(-3\left)\right(1\left)\right]-\left(1\right)\left[\right(0\left)\right(3-\mathrm{\lambda })-(1\left)\right(1\left)\right]+0=0$

$⟹(-\mathrm{\lambda })(-3\mathrm{\lambda }+{\mathrm{\lambda }}^2+3)-(-1)=0$

$⟹3{\mathrm{\lambda }}^2-{\mathrm{\lambda }}^3-3\mathrm{\lambda }+1=0$

$⟹{\mathrm{\lambda }}^3-3{\mathrm{\lambda }}^2+3\mathrm{\lambda }-1=0 [ \mathrm{Multiplied} \mathrm{by}"\mathrm{minus}"]$

$⟹(\mathrm{\lambda }-1{)}^3=0$

$⟹\mathrm{\lambda }=1,1,1 \mathrm{are} \mathrm{eigen} \mathrm{values}.$

$\mathrm{Now}, (\mathrm{A}-\mathrm{\lambda I})\mathrm{X}=0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& -1 & 1\\ 1& -3& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{x}\\ \mathrm{y}\\ \mathrm{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

$\mathrm{Considering} \mathrm{the} \mathrm{Augmented} \mathrm{matrix},$

$~\left[\overline{)\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& -1 & 1\\ 1& -3& 2\end{array}}\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

$\mathrm{Apply}, {\mathrm{R}}_{13} \left(1\right)$

$~\left[\overline{)\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& -1 & 1\\ 1-1& -3+1& 2+0\end{array}}\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0+0\end{array}\right]$

$~\left[\overline{)\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& -1 & 1\\ 0& -2& 2\end{array}}\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

$\mathrm{Apply}, {\mathrm{R}}_{23} (-2)$

$~\left[\overline{)\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& -1 & 1\\ 0-2\left(0\right)& -2-2(-1)& 2-2\left(1\right)\end{array}}\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0-2\left(0\right)\end{array}\right]$

$~\left[\overline{)\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& -1 & 1\\ 0& 0& 0\end{array}}\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

$\mathrm{By} \mathrm{back} \mathrm{substitution},$

$\mathrm{Let}, \mathrm{z}=\mathrm{t} ; \mathrm{t}\in \mathrm{ℝ}$

$-\mathrm{y}+\mathrm{z}=0$

$⟹\mathrm{y}=\mathrm{z}$

$⟹\mathrm{y}=\mathrm{t}$

$-\mathrm{x}+\mathrm{y}=0$

$⟹\mathrm{x}=\mathrm{y}$

$⟹\mathrm{x}=\mathrm{t}$

$\mathrm{So}, (\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(\mathrm{t},\mathrm{t},\mathrm{t})=\mathrm{t}(1,1,1)$

$\mathrm{Hence}, \mathrm{Eigen} \mathrm{vector} \mathrm{corresponding} \mathrm{to} \mathrm{\lambda }=1 \mathrm{is} (1,1,1{)}^{\mathrm{T}}.$