Mathematics-I (3110014)

$\mathrm{Here},{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}={\left(\frac{\mathrm{n}}{2\mathrm{n}+1}\right)}^{\mathrm{n}}$

$\mathrm{By} \mathrm{Cauchy}’\mathrm{s} \mathrm{Root} \mathrm{Test},$

$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }{\left[{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right]}^{\frac{1}{\mathrm{n}}}$

$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }{\left[{\left(\frac{\mathrm{n}}{2\mathrm{n}+1}\right)}^{\mathrm{n}}\right]}^{\frac{1}{\mathrm{n}}}$

$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\left(\frac{\mathrm{n}}{2\mathrm{n}+1}\right)$

$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{n}}}}\right) [\mathrm{dividing} \mathrm{by} "\mathrm{n}"]$

$\mathrm{L}=\frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{\infty }}}$

$\mathrm{L}=\frac{1}{2+{\displaystyle 0}}$

$\mathrm{L}=\frac{1}{2}<1$

$\mathrm{Hence} \mathrm{by} \mathrm{Cauchy}’\mathrm{s} \mathrm{Root} \mathrm{Test}, \mathrm{the} \mathrm{series} \mathrm{is} \mathrm{convergent}.$